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La dimensión fractal local , dimensión puntual o exponente de Hölder es un límite definido punto a punto para ciertas medidas definidas sobre un espacio métrico y que puede ser usado para caracterizar dichas medidas.
La dimensión fractal local o exponente de Hölder de una medida finita definida sobre
R
n
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}
se define punto a punto como el límite:
(
dim
l
o
c
μ
)
(
x
)
=
lim
r
→
0
log
μ
(
B
(
x
,
r
)
)
log
r
{\displaystyle ({\mbox{dim}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}}
El límite anterior no siempre existe por lo que común mente se definen los límites superior e inferior para la misma magnitud:[ 1]
{
(
dim
_
l
o
c
μ
)
(
x
)
=
lim
r
→
0
inf
log
μ
(
B
(
x
,
r
)
)
log
r
(
dim
¯
l
o
c
μ
)
(
x
)
=
lim
r
→
0
sup
log
μ
(
B
(
x
,
r
)
)
log
r
{\displaystyle {\begin{cases}({\underline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\inf {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\\({\overline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\sup {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\end{cases}}}
Propiedades [ editar ]
Si
E
⊂
R
n
{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}
es un conjunto de Borel y
μ
{\displaystyle \mu \,}
es una medida finita, se cumple que:
Si
(
dim
_
l
o
c
)
(
x
)
≥
s
{\displaystyle ({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\geq s}
para todo
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
y
μ
(
E
)
>
0
{\displaystyle \mu (E)>0}
entonces
dim
H
E
≥
s
{\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\geq s}
.
Si
(
dim
_
l
o
c
)
(
x
)
≤
s
{\displaystyle ({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s}
para todo
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
entonces
dim
H
E
≤
s
{\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\leq s}
.
Si
(
dim
¯
l
o
c
)
(
x
)
≤
s
{\displaystyle ({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s}
para todo
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
y
μ
(
E
)
>
0
{\displaystyle \mu (E)>0}
entonces
dim
H
E
≤
s
{\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\leq s}
.
Si
(
dim
¯
l
o
c
)
(
x
)
≤
s
{\displaystyle ({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s}
para todo
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
entonces
dim
H
E
≤
s
{\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\leq s}
.
Donde:
dim
H
(
⋅
)
{\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}(\cdot )}
, es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch .
dim
P
(
⋅
)
{\displaystyle {\mbox{dim}}_{P}(\cdot )}
, es la dimensión de empaquetado .
Aplicaciones [ editar ]
El análisis multifractal de una medida finita sobre un espacio métrico se usa la dimensión fractal local, que puede diferir en algunos puntos de la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch , para definir el llamado espectro multifractal que se usa para caracterizar a la propia medida.
Referencias [ editar ]
↑ K. Falconer, 1997, p. 25.
Bibliografía [ editar ]
Véase también [ editar ]