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Se denomina residuo de una función analítica
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
en una singularidad aislada
z
=
z
0
{\displaystyle z=z_{0}}
al número
Res
(
f
,
z
0
)
=
1
2
π
i
∫
C
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z)dz}
donde
C
{\displaystyle C}
representa una circunferencia centrada en
z
0
{\displaystyle z_{0}}
, en cuyo interior no hay puntos singulares de la función, salvo
z
0
{\displaystyle z_{0}}
.
Cálculo de residuos [ editar ]
Si
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
tiene una singularidad evitable en
z
0
{\displaystyle z_{0}}
, el residuo es
Res
(
f
(
z
)
,
z
0
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),z_{0})=0}
. Si
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
tiene un polo de orden
N
{\displaystyle N}
en
z
0
{\displaystyle z_{0}}
, entonces el residuo se puede calcular como:
Res
(
f
,
z
0
)
=
lim
z
→
z
0
1
(
N
−
1
)
!
d
N
−
1
d
z
N
−
1
[
(
z
−
z
0
)
N
f
(
z
)
]
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}\,\,{\frac {1}{(N-1)!}}{\frac {d^{N-1}}{dz^{N-1}}}[(z-z_{0})^{N}f(z)]}
En particular, si
N
=
1
{\displaystyle N=1}
(polo simple),
Res
(
f
,
z
0
)
=
lim
z
→
z
0
(
z
−
z
0
)
f
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}\,\,(z-z_{0})f(z)}
Si el punto
z
0
{\displaystyle z_{0}}
es una singularidad esencial , el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a
z
0
{\displaystyle z_{0}}
. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente
−
1
{\displaystyle -1}
.
Véase también [ editar ]
Enlaces externos [ editar ]